第11章 仮説検定(2): 母平均・母比率の検定

ここでは，母平均・母比率の検定を自力で行い，Rの組み込み関数と結果を比較する．

set.seed(8931)

11.1 母平均の検定

平均170分散100の母集団正規分布\(N(170,100)\)からの\(n=100\)のサンプリングデータが得られたとする．

d<-rnorm(100,170,10)
hist(d,col="skyblue")

c(mean(d),sd(d))

## [1] 169.46672  10.59732

母分散未知として，帰無仮説・対立仮説 \[H_0: \mu = \mu_0,\ \ H_1: \mu \neq \mu_0\] として両側仮説検定を実施する．

帰無仮説のもとでの\(t\)値を算出する関数を定義する． \[t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\] \(\mu_0=165\)としたときの\(t\)値．

t<-function(data,mu0) {
  (mean(data)-mu0)/(sd(data)/sqrt(length(data)))
}
tstat<-t(d,165)
tstat

## [1] 4.214954

標準正規分布を仮定したときの\(p\)値．

2*(1-pnorm(abs(tstat)))

## [1] 2.498288e-05

\(t\)分布\(t(n-1)\)を仮定したときの\(p\)値．

2*(1-pt(abs(tstat),length(d)-1))

## [1] 5.525124e-05

t.test関数を使って同じことをする．

t.test(d, mu=165)	

## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  d
## t = 4.215, df = 99, p-value = 5.525e-05
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 165
## 95 percent confidence interval:
##  167.3640 171.5695
## sample estimates:
## mean of x 
##  169.4667

\(t\)値ならびに\(t\)分布を仮定したときの\(p\)値が一致していることが確認できる．

帰無仮説\(H_0: \mu=165\)のもとでの\(t\)値の分布を確認する．

repdata<-replicate(10000,t(rnorm(100,165,10),165))
hist(repdata,col="skyblue", prob=TRUE)
curve(dnorm(x,0,1),-4,4,col="red",add=TRUE)

帰無仮説\(H_0: \mu=165\)のもとで\(t\)値として4.2149543のような値が得られることはほとんどない．

length(which(abs(repdata)>tstat))/length(repdata)

## [1] 0

11.2 母比率の検定

ベルヌーイ分布\(Bi(1,0.6)\)からの\(n=100\)のサンプリングデータが得られたとする．

d2<-rbinom(100,1,0.6)
hist(d2,xlim=c(-0.5,1.5),breaks=seq(-0.5,1.5,1),col="skyblue")

帰無仮説・対立仮説 \[H_0: \mu = \mu_0,\ \ H_1: \mu \neq \mu_0\] のもとでの\(z\)値を算出する関数を定義する． \[z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\] \(p_0=0.5\)としたときの\(z\)値を算出する．

z<-function(data,p0) {
  (mean(data)-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/length(data))
}
zstat<-z(d2,0.5)
zstat

## [1] 4

標準正規分布を仮定したときの\(p\)値．

2*(1-pnorm(abs(zstat)))

## [1] 6.334248e-05

prop.test関数を使って検定．ただし，prop.testでは，以下のzstat^2がカイ二乗分布\(\chi^2(1)\)に従うことを利用して検定している．

prop.test(sum(d2), length(d2), p = 0.5 , correct = FALSE)

## 
## 	1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  sum(d2) out of length(d2), null probability 0.5
## X-squared = 16, df = 1, p-value = 6.334e-05
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6041515 0.7810511
## sample estimates:
##   p 
## 0.7

zstat^2

## [1] 16

1-pchisq(zstat^2,1)

## [1] 6.334248e-05